濾波是將信號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施。

根據(jù)觀察某一隨機過程的結(jié)果，對另一與之有關(guān)的隨機過程進行估計的概率理論與方法。濾波一詞起源于通信理論，它是從含有干擾的接收信號中提取有用信號的一種技術(shù)。“接收信號”相當(dāng)于被觀測的隨機過程，“有用信號”相當(dāng)于被估計的隨機過程。例如用雷達跟蹤飛機，測得的飛機位置的數(shù)據(jù)中，含有測量誤差及其他隨機干擾，如何利用這些數(shù)據(jù)盡可能準確地估計出飛機在每一時刻的位置、速度、加速度等，并預(yù)測飛機未來的位置，就是一個濾波與預(yù)測問題。這類問題在電子技術(shù)、航天科學(xué)、控制工程及其他科學(xué)技術(shù)部門中都是大量存在的。歷史上*早考慮的是維納濾波，后來R。E。卡爾曼和R。S。布西于20世紀60年代提出了卡爾曼濾波。現(xiàn)對一般的非線性濾波問題的研究相當(dāng)活躍。

濾波是信號處理中的一個重要概念。

經(jīng)典濾波的概念，是根據(jù)傅立葉分析和變換提出的一個工程概念。根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論，任何一個滿足一定條件的信號，都可以被看成是由無限個正弦波疊加而成。換句話說，就是工程信號是不同頻率的正弦波線性疊加而成的，組成信號的不同頻率的正弦波叫做信號的頻率成分或叫做諧波成分。只允許一定頻率范圍內(nèi)的信號成分正常通過，而阻止另一部分頻率成分通過的電路，叫做經(jīng)典濾波器或濾波電路。

實際上，任何一個電子系統(tǒng)都具有自己的頻帶寬度（對信號*高頻率的限制），頻率特性反映出了電子系統(tǒng)的這個基本特點。而濾波器，則是根據(jù)電路參數(shù)對電路頻帶寬度的影響而設(shè)計出來的工程應(yīng)用電路。

現(xiàn)代濾波

用模擬電子電路對模擬信號進行濾波，其基本原理就是利用電路的頻率特性實現(xiàn)對信號中頻率成分的選擇。根據(jù)頻率濾波時，是把信號看成是由不同頻率正弦波疊加而成的模擬信號，通過選擇不同的頻率成分來實現(xiàn)信號濾波。

當(dāng)允許信號中較高頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做高通濾波器。

當(dāng)允許信號中較低頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做低通濾波器。

當(dāng)只允許信號中某個頻率范圍內(nèi)的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做帶通濾波器。

理想濾波器的行為特性通常用幅度－頻率特性圖描述，也叫做濾波器

對于濾波器，增益幅度不為零的頻率范圍叫做通頻帶，簡稱通帶，增益幅度為零的頻率范圍叫做阻帶。例如對于LP，從－W1當(dāng)W1之間，叫做LP的通帶，其他頻率部分叫做阻帶。通帶所表示的是能夠通過濾波器而不會產(chǎn)生衰減的信號頻率成分，阻帶所表示的是被濾波器衰減掉的信號頻率成分。通帶內(nèi)信號所獲得的增益，叫做通帶增益，阻帶中信號所得到的衰減，叫做阻帶衰減。在工程實際中，一般使用DB作為濾波器的幅度增益單位。

按照濾波是在一整段時間上進行或只是在某些采樣點上進行，可分為連續(xù)時間濾波與離散時間濾波。前者的時間參數(shù)集T可取為實半軸【0，∞）或?qū)嵼S（－∞，∞）；后者的T可取為非負整數(shù)集｛0，1，2，…｝或整數(shù)集｛…，－2，－1，0，1，2，…｝。設(shè)X＝｛X，T∈T＝｛Y，T∈T）有窮，即其中X為被估計過程，它不能被直接觀測；Y為被觀測過程，它包含了X的某些信息。用表示到時刻T為止的觀測數(shù)據(jù)全體，如果能找到中諸元的一個函數(shù)？（），使其均方誤差達到極小，就稱為XT的*優(yōu)濾波；如果取極小值的范圍限于線性函數(shù)，就稱為XT的線性*優(yōu)濾波。可以證明，*優(yōu)濾波與線性*優(yōu)濾波都以概率1惟一存在。對于前者，憫T就是XT關(guān)于σ（）（生成的σ域）的條件期望，記作對于后者，若進一步設(shè)均值EXT呏EYT呏0，則憫T就是XT在所張成的希爾伯特空間上的投影，記作如果（X，Y）是二維正態(tài)過程，則*優(yōu)濾波與線性*優(yōu)濾波是一致的。

為了應(yīng)用和敘述的方便，有時還把上面的定義更細致地加以分類。設(shè)τ為一確定的實數(shù)或整數(shù)，且考慮被估計過程為。

或。按照τ＝0、τ》0、τ《0，分別稱為*優(yōu)濾波、（τ步）預(yù)測或外推、（τ步）平滑或內(nèi)插，分別為對應(yīng)的誤差與均方誤差，而統(tǒng)稱這類問題為濾波問題。濾波問題的主要課題是研究對哪些類型的隨機過程X和Y，可以并且如何用觀測結(jié)果的某種解析表示式，或微分方程，或遞推公式等形式，表達出并進而研究它們的種種性質(zhì)。此外，上面所指的一維隨機過程X、Y，都可以推廣為多維隨機過程。

維納濾波歷史上*先考慮的是寬平穩(wěn)過程（見平穩(wěn)過程）的線性預(yù)測和濾波問題，它的一般模型是YT＝XT＋NT，其中（X，N）為二維寬平穩(wěn)過程或序列，其譜分布函數(shù)已知，其均值為零。設(shè)從－∞到時刻T為止的全部Y的值都已被觀測到，求X的τ步線性預(yù)測及其均方誤差。如果限于考慮N＝0、τ》0的情形，則變成在無誤差觀測條件下X本身的線性預(yù)測問題；如果N≠0、τ≤0，則變成從受到噪聲N干擾的接收信號Y中提取有用信號X的濾波問題。1939～1941年，Α。Η。柯爾莫哥洛夫利用平穩(wěn)序列的沃爾德分解（見平穩(wěn)過程），給出了線性預(yù)測的一般理論與處理辦法，隨即被推廣到連續(xù)時間的平穩(wěn)過程。N。維納則在1942年對于平穩(wěn)序列與過程的譜密度存在且滿足某種正則條件的情形，利用譜分解導(dǎo)出了線性*優(yōu)預(yù)測和濾波的明顯表達式，即維納濾波公式，并在防空火力控制、電子工程等部門獲得了應(yīng)用。上述模型在50年代被推廣到僅在有限時間區(qū)間內(nèi)進行觀測的平穩(wěn)過程以及某些特殊的非平穩(wěn)過程，其應(yīng)用范圍也擴充到更多的領(lǐng)域。至今它仍是處理各種動態(tài)數(shù)據(jù)（如氣象、水文、地震勘探等）及預(yù)測未來的有力工具之一。

維納濾波公式是通過平穩(wěn)過程的譜分解導(dǎo)出的，難以推廣到較一般的非平穩(wěn)過程和多維情形，因而應(yīng)用范圍受到限制。另一方面，在不斷增加觀測結(jié)果時，不易從已算出的濾波值及新的觀測值較簡單地求出新的濾波值，特別是不能滿足在電子計算機上快速處理大量數(shù)據(jù)的需要。

卡爾曼濾波由于高速電子計算機的發(fā)展以及測定人造衛(wèi)星軌道和導(dǎo)航等技術(shù)問題的需要，R。E。卡爾曼與R。S。布西于20世紀60年代初期提出了一類新的線性濾波的模型與方法，通稱為卡爾曼濾波。其基本假設(shè)是，被估計過程X為隨機噪聲影響下的有限階多維線性動態(tài)系統(tǒng)的輸出，而被觀測的YT則是XT的部分分量或其線性函數(shù)與量測噪聲的疊加，這里并不要求平穩(wěn)性，但要求不同時刻的噪聲值是不相關(guān)的。此外，觀測只需從某一確定時刻開始，而不必是無窮長的觀測區(qū)間。更重要的是，適應(yīng)電子計算機的特點，卡爾曼濾波公式不是將估計值表成觀測值的明顯的函數(shù)形式，而是給出它的一種遞推算法（即實時算法）。具體地說，對于離散時間濾波，只要適當(dāng)增大X的維數(shù)，就可以將T時刻的濾波值表成為前一時刻的濾波值與本時刻的觀測值YT的某種線性組合。對于連續(xù)時間濾波，則可以給出與YT所應(yīng)滿足的線性隨機微分方程。在需要不斷增加觀測結(jié)果和輸出濾波值的情形，這樣的算法加快了處理數(shù)據(jù)的速度，而且減少了數(shù)據(jù)存貯量。卡爾曼還證明，如果所考慮的線性系統(tǒng)滿足某種“可控性”和“可觀測性”（這是現(xiàn)代控制理論中由卡爾曼提出的兩個重要概念），那么*優(yōu)濾波一定是“漸近穩(wěn)定”的。大致說來，就是由初始誤差、舍入誤差及其他的不準確性所引起的效應(yīng)，將隨著濾波時間的延長而逐漸消失或趨于穩(wěn)定，不致形成誤差的積累。這在實際應(yīng)用上是很重要的。

卡爾曼濾波也有多種形式的推廣，例如放寬對噪聲不相關(guān)性的限制，用線性系統(tǒng)逼近非線性系統(tǒng)，以及所謂“自適應(yīng)濾波”，等等，并獲得了日益廣泛的應(yīng)用。

非線性濾波前已說明，一般的非線性*優(yōu)濾波可歸結(jié)為求條件期望的問題。對于有限多個觀測值的情形，條件期望原則上可以用貝葉斯公式來計算。但即使在比較簡單的場合，這樣得出的結(jié)果也是相當(dāng)繁雜的，無論對實際應(yīng)用或理論研究都很不方便。與卡爾曼濾波類似，人們也希望能給出非線性濾波的某種遞推算法或它所滿足的隨機微分方程。但一般它們并不存在，因此必須對所討論的過程X與Y加以適當(dāng)?shù)南拗啤７蔷€性濾波的研究工作相當(dāng)活躍，它涉及隨機過程論的許多近代成果，如隨機過程一般理論、鞅、隨機微分方程、點過程等。其中一個十分重要的問題，是研究在什么條件下，存在一個鞅M，使得在任何時刻，M和Y都包含同樣的信息；這樣的M稱為Y的新息過程。目前對于一類所謂“條件正態(tài)過程”，已經(jīng)給出了非線性*優(yōu)濾波的可嚴格實現(xiàn)的遞推算式。在實際應(yīng)用上，對非線性濾波問題往往采用各種線性近似的方法。